控制图

控制图（Control Chart）是统计过程控制（SPC）的核心工具，由美国贝尔实验室的休哈特（Walter Shewhart）博士于1924年提出。它通过可视化数据波动，区分生产过程中的正常波动​（偶然原因）与异常波动​（特殊原因），帮助企业实时监控质量、预防不良品、优化流程。

控制图的基本原理

核心逻辑

基于正态分布特性：若过程稳定，99.73%的数据应落在中心线±3σ​（标准差）的控制限内。

判异规则​：数据点超出控制限（UCL/LCL）或呈现特定分布模式（如连续上升/下降）时，表明存在异常原因。

两类错误风险

α风险（虚发警报）​​：正常过程误判为异常（概率0.27%）。

β风险（漏发警报）​​：异常过程误判为正常，导致不合格品增加。

控制限设为±3σ是为平衡两类风险的总损失最小化。

核心功能

过程监控：实时跟踪过程输出（如产品尺寸、服务响应时间等），判断是否处于统计控制状态。

异常检测：识别超出控制界限的点、趋势或模式，提示可能存在特殊原因（如设备故障、操作失误）。

持续改进：通过分析异常原因，优化过程参数，减少变异，提升质量水平。

控制图的核心要素

组成部分	作用	示例
中心线（CL）	过程均值（如平均值、中位数）	生产线瓶装容量平均值=500ml
控制上限（UCL）	均值+3倍标准差（99.73%数据应在此范围内）	UCL=505ml
控制下限（LCL）	均值-3倍标准差	LCL=495ml
数据点	按时间顺序排列的样本统计量（如单值、均值、极差等）	每小时抽取5瓶测量容量

控制图类型及适用场景

控制图类型

根据数据类型和用途，控制图分为两大类：计量型和计数型。

计量型控制图（连续数据，如尺寸、温度）

X-bar & R图：监控过程均值（X-bar）和极差（R），适用于子组样本量较小（通常2-10）的场景。

X-bar & S图：用标准差（S）替代极差，适用于子组样本量较大（≥10）时。

I-MR图（单值-移动极差图）：适用于无法分组的数据（如单件生产），通过移动极差分析变异。

类型	符号	适用场景	特点
均值-极差控制图	X̄-R	小样本（n=2~9）	最常用，计算简单
均值-标准差控制图	X̄-S	大样本（n≥10）	精度更高
单值-移动极差控制图	X-Rs	单件/慢速生产（每次仅1个数据）	灵敏度低，但操作简便
中位数-极差控制图	X̃-R	数据非正态或含异常值	抗干扰强

计数型控制图（离散数据，如缺陷数、不合格率）

P图：监控不合格品率（比例），适用于样本量不固定的情况。

NP图：监控不合格品数量，要求样本量恒定。

C图：监控单位缺陷数（如每平方米瑕疵点数），适用于样本量恒定。

U图：监控单位缺陷率（如每百件缺陷数），适用于样本量不固定。

类型	符号	适用场景
不合格品率控制图	P	样本量不等（如抽检批次大小不同）
不合格品数控制图	nP	样本量固定
缺陷数控制图	C	单位产品缺陷数（如纺织品瑕疵）
单位缺陷数控制图	U	样本量不等时的缺陷密度监控

控制图适用场景

类型	适用数据	公式	典型案例
X̄-R图（均值-极差）	连续数据，子组大小≤10	X̄=子组均值，R=子组极差	监控生产线零件尺寸稳定性
X-MR图（单值-移动极差）	连续数据，子组大小=1	MR=相邻两数据点差值绝对值	化工反应温度监控（无法分组）
P图（不合格品率）	二项分布数据（合格/不合格）	P=不合格品数/样本量	电子元件焊接不良率监控
U图（单位缺陷数）	泊松分布数据（缺陷计数）	U=缺陷数/单位	纺织品每平方米瑕疵数监控

计数型控制和计量型控制图的异同点

核心差异

维度	计数型控制图	计量型控制图
数据类型	离散数据（属性数据）	连续数据（变量数据）
监控对象	不合格品数、缺陷数等非数值型指标	长度、重量、温度等可测量的数值型指标
样本量要求	可变（如P图、U图）或固定（如NP图、C图）	通常需分组（子组），样本量固定
控制界限计算	基于二项分布或泊松分布	基于正态分布
灵敏度	对小偏移的检测能力较弱	对小偏移的检测能力较强
应用场景	缺陷率、不合格品率监控	关键尺寸、性能参数监控

详细对比

1. 数据类型与监控对象

计数型控制图：

数据类型：离散数据，如“合格/不合格”“缺陷有无”。

监控对象：

不合格品率（P图、NP图）：如每百件产品中的不合格品数。

缺陷数（C图、U图）：如每平方米玻璃上的气泡数。

特点：数据简单，但信息量有限，无法反映偏差程度。

计量型控制图：

数据类型：连续数据，如长度、重量、时间等。

监控对象：

过程均值（X-bar图）：如零件直径的平均值。

过程变异（R图、S图）：如直径的极差或标准差。

特点：数据丰富，可捕捉微小偏移，但需测量系统精确。

2. 样本量与分组要求

计数型控制图：

样本量可变：如P图和U图允许每批样本量不同（如订单批量不一）。

样本量固定：NP图和C图要求每批样本量相同（如每小时抽检100件）。

分组灵活性：适用于非均匀生产过程。

计量型控制图：

需分组（子组）：通常每组包含2-10个样本（如每班抽5件产品）。

样本量固定：子组大小需一致，以稳定控制界限计算。

适用场景：连续生产过程，如流水线作业。

3. 控制界限计算

计数型控制图：

基于概率分布：

P图/NP图：二项分布（不合格品率）。

C图/U图：泊松分布（缺陷数）。

公式示例（P图）：

中心线（CL）= 历史不合格品率均值。

控制界限：UCL/LCL = CL ± 3√[CL(1-CL)/n]（n为样本量）。

计量型控制图：

基于正态分布：

X-bar图：UCL/LCL = X̄ ± A₂R̄（A₂为常数，R̄为极差均值）。

R图：UCL/LCL = D₄R̄ / D₃R̄（D₃、D₄为常数）。

特点：需计算子组均值和变异，对数据分布敏感。

4. 灵敏度与异常检测

计数型控制图：

灵敏度较低：对过程偏移的检测需积累更多数据（如缺陷率需显著上升才能触发警报）。

适用场景：缺陷率稳定且较低的过程（如<5%）。

计量型控制图：

灵敏度较高：可检测均值或变异的微小偏移（如0.5σ shift）。

优势：提前预警，减少不合格品产生。

5. 应用场景示例

计数型控制图：

P图：监控手机组装线每日不合格品率（样本量随订单变化）。

U图：跟踪每台发动机的缺陷数（如密封圈漏装、螺丝松动）。

计量型控制图：

X-bar & R图：监控汽车轴承直径的均值和极差（每班抽5件，连续生产）。

I-MR图：监测单件定制产品的厚度（如航空航天零件）。

共同点

目的相同：均用于监控过程稳定性，区分普通原因与特殊原因变异。

控制界限逻辑：均采用±3σ原则设定UCL/LCL，覆盖99.73%的正常波动。

判异规则：均遵循Western Electric规则（如点超出界限、连续7点上升等）。

持续改进：通过分析异常点，推动过程优化。

选择建议

优先计量型控制图：

数据可量化且测量系统可靠。

需检测微小偏移或关键质量特性（CTQ）。

示例：半导体晶圆厚度、药品有效成分含量。

选择计数型控制图：

数据为离散属性（合格/不合格）。

测量成本高或无法连续测量（如破坏性测试）。

示例：食品包装密封性检测、软件缺陷率。

实践案例

案例1（计数型）：

某电子厂使用P图监控电路板焊接不良率，发现连续8点低于中心线，调查后发现助焊剂浓度不足。

案例2（计量型）：

某钢厂通过X-bar & R图监控钢板厚度，发现R图连续6点上升，检查轧机辊缝发现磨损。

总结

计数型控制图适用于离散、简单的缺陷监控，而计量型控制图更适合连续、精确的过程参数控制。实际应用中，可根据数据类型、测量成本和过程灵敏度需求综合选择，甚至结合使用（如先通过计量型图控制关键尺寸，再用计数型图监控最终合格率）。

构建步骤

数据收集：按时间顺序收集过程输出数据，分组（子组）或单值记录。

计算统计量：

计量型：计算子组均值（X-bar）、极差（R）或标准差（S）。

计数型：计算不合格品率（P）、不合格数（NP）、缺陷数（C/U）。

确定控制界限：

上控制限（UCL）= 中心线（CL） + 3×标准差（σ）。

下控制限（LCL）= 中心线（CL） - 3×标准差（σ）。

（CL通常为过程均值或目标值）

绘制控制图：时间轴为横轴，统计量为纵轴，标注UCL、CL、LCL。

分析异常：

点超出界限：立即调查。

趋势/模式：如连续7点上升、周期性波动等，提示过程偏移。

示例：以X̄-R图为例

数据收集：

子组大小通常4-5，组数≥25。

示例：每小时取5个零件测直径（mm）：

子组1: 10.2, 10.1, 10.3, 10.0, 10.2

子组2: 10.4, 10.3, 10.2, 10.5, 10.3  

...

计算统计量：

X̄（子组均值）= (10.2+10.1+10.3+10.0+10.2)/5 = 10.16

R（子组极差）= max(10.2,10.1,10.3,10.0,10.2) - min(...) = 0.3

确定控制限：

总均值X̄̄ = 所有X̄的平均值

平均极差R̄ = 所有R的平均值

UCL_X̄ = X̄̄ + A₂·R̄ （A₂查表，n=5时为0.577）

LCL_X̄ = X̄̄ - A₂·R̄

UCL_R = D₄·R̄ （D₄=2.114）

绘图分析：

标记中心线、控制限，绘制X̄和R点序列。

检查是否出现8种异常模式。

判异准则与注意事项

判异准则

超出控制限：单点超出UCL/LCL（过程失控）。

连续7点同侧：可能均值偏移（如设备校准失效）。

连续6点递增/递减：趋势性变化（如刀具磨损）。

连续14点上下交替：系统性干扰（如两班次操作差异）。

2/3点落在A区外：A区=±2σ范围（预警信号）。

连续15点在C区：C区=±1σ范围（过度控制或数据造假）。

连续8点无C区：分层现象（如混合多批原材料）。

周期性波动：固定间隔异常（如设备定期故障）。

使用要点

数据准确性​：确保采集设备校准，避免人为误差。

动态调整​：过程稳定后需重新计算控制限。

整合工具​：

与直方图结合分析数据分布形态；

嵌入六西格玛DMAIC框架，在"控制阶段"固化改进。

应用场景

制造业

监控关键参数（如零件尺寸、温度），实时报警设备偏差，减少废品率。

案例：汽车厂通过X̄-R图控制喷漆厚度，及时调整设备参数。

服务业与医疗

追踪患者等待时间、手术并发症率，优化服务流程。

案例：医院用P图监控护理投诉率，针对性培训后满意度提升。

金融与教育

分析投资组合波动、学生成绩趋势，辅助风险决策与教学改进。

研发领域

识别实验数据异常值，确保研发过程稳定性。

优势与局限

优势：

直观展示过程状态，支持数据驱动决策。

预防质量问题，减少事后返工成本。

局限：

依赖数据准确性，需定期校准测量系统。

无法直接识别具体原因，需结合其他工具（如鱼骨图、5Why分析）。

实践建议

选择合适图表：根据数据类型（连续/离散）和样本量选择控制图。

持续更新：定期收集新数据，重新计算控制界限以反映过程改进。

培训团队：确保操作人员理解判异规则，避免误判。

结合其他工具：与SPC（统计过程控制）、六西格玛等方法结合使用。

示例：某汽车零部件厂使用X-bar & R图监控轴径尺寸，发现连续7点低于中心线，调查后发现磨具磨损，及时更换后过程恢复稳定。

通过合理应用控制图，企业可实现从“事后检验”到“事前预防”的转变，显著提升质量与效率。

控制图 vs 趋势图

对比项	控制图	趋势图
核心目的	区分普通/特殊原因变异，监控过程稳定性	单纯展示数据随时间变化趋势
控制限	基于统计学计算（±3σ）	无标准限制，可自定义阈值
适用场景	生产过程质量管控	销售数据、温度记录等描述性分析

 常见问题解答

Q1：控制限能否调整？

原则上不可随意更改，除非过程改进后重新计算（如六西格玛项目后标准差缩小）。

Q2：数据不服从正态分布怎么办？

使用非参数控制图（如中位数图）或进行数据变换（如Box-Cox变换）。

Q3：控制图发现异常后如何处理？

立即排查特殊原因（如原材料批次、设备故障），消除后重新收集数据计算控制限。

工具推荐

软件：Minitab（SPC专业分析）、JMP、Excel（需手动公式）

模板：

# Python示例（使用numpy和matplotlib）

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

data = np.random.normal(50, 2, 100)  # 均值50，标准差2的100个数据

mean, std = np.mean(data), np.std(data)

plt.plot(data, 'bo-')

plt.axhline(mean, color='g', label='CL')

plt.axhline(mean + 3*std, color='r', linestyle='--', label='UCL')

plt.axhline(mean - 3*std, color='r', linestyle='--', label='LCL')

plt.legend()

plt.show()

总结

控制图是质量管理的“心电图”，通过量化波动实现预防性管控。掌握其原理和判异规则，可显著降低过程变异，提升产品一致性。

控制图是企业实现预防性质量管理的基石，其核心价值在于实时预警异常而非事后检验。成功应用需结合场景选择类型、严格执行制作步骤、动态响应异常信号，并与其他质量工具（如PDCA循环）协同。随着工业4.0发展，控制图正与大数据分析、AI预测结合，迈向智能化实时监控的新阶段。